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Mechanik (3)

 

Hier findest du alle Inhalte zur Unterrichtseinheit.


Inhalt - Mechanik

 

→  Teil 1:

Körper und ihre Eigenschaften
Körper und Stoffe
Unterscheide zwischen Körpern und Stoffen
Größen und Einheiten
Kräfte und ihre Wirkung
Kräfte darstellen und messen
Kräfte werden gemessen – Aufgaben
Die Federkonstante
Schwere Masse / Träge Masse
Größenbereiche – Die Masse
Masseeinheiten
Die Grundeinheit ist das Kilogramm (1kg)
Das Volumen
Größenbereiche – Das Volumen
Die Dichte eines Körpers
Aufgaben zur Dichte
Der Auftrieb im Wasser
Schwimmen – schweben - sinken
Der Flaschentaucher

→ Teil 2: 
Mehrere Kräfte wirken gleichzeitig
Das Kräfteparallelogramm – Übung
Flächenbelastung und Druck
Der Druck in Flüssigkeiten
Reibung
Drehmoment und Hebel
Kräfte umleiten – Seil, Stange, Rollen
Die Arbeit
Die Energie
Die mechanische Leistung

Teil 3 (Kinematik):
Die Bewegung von Körpern
Vorüberlegungen
Die Geschwindigkeit
Die beschleunigte Bewegung

Übersicht

Newton'sches Kraftgesetz

Impuls und Kraftstoß

Alle Folien in einem Heft

ISBN  978-3-7450-2684-9

Produktplatzierungen

Hinweis:
Für die Unterrichtseinheit ist die Anschaffung des Skripts für meine Schüler nicht notwendig! Die Folien werden nacheinander bearbeitet und notwendige Materialien ggf. kopiert. Es sind keine Lösungen zu den Aufgaben enthalten.

Publikationen

Hinweis:
Die Inhalte dieser Unterrichtseinheit zielen ab auf die Vermittlung der Grundlagen der Thematik und stellen den Stoff inhaltlich zusammenhängend dar. Den Schülern soll die Struktur der physikalischen Themenbereiche somit im Rahmen des Physikunterrichts der Mittelstufe deutlich vermittelt werden.


Physik: Skriptsammlung



Kinematik

(Kinematik: Lehre von der Bewegung von Körpern)

 

Infotext - Die Bewegung von Körpern (1) - Bezugssysteme, Massenpunkte


Bezugssysteme 

Durch das Bezugssystem wird ein reales physikalisches System auf die denkbar einfachste Grundlage an Daten reduziert. Zur Beschreibung der Bewegung eines Autos ist beispielsweise seine Farbe oder der Hersteller des Autos völlig unwichtig.  Ein Bezugssystem ist in der Physik ein gedachtes raum-zeitliches Gebilde, das erforderlich ist, um das Verhalten ortsabhängiger Größen eindeutig und vollständig zu beschreiben. Insbesondere können die Lage und Bewegung von physikalischen Körpern nur relativ zu einem Bezugssystem angegeben werden. 

Ein Bezugssystem wird definiert, indem man einen Bezugspunkt wählt und die Raumrichtungen festlegt, sowie einen physikalischen Prozess für die Zeitmessung bestimmt. Dadurch ist zunächst festgelegt, was unter „Ruhe“ und „Bewegung“ jeweils zu verstehen ist. Zudem ermöglicht dies, ein Koordinatensystem einzuführen, mit dessen Hilfe physikalische Ereignisse durch Angabe ihrer raum-zeitlichen Koordinaten mathematisch beschrieben werden können. Durch eine geschickte Wahl des Koordinatensystems kann die mathematische Beschreibung eines physikalischen Vorgangs erheblich erleichtert werden!

Wenn Beobachter von verschiedenen Bezugssystemen ausgehen, können sie zu einem physikalischen Vorgang verschiedene Beschreibungen geben, die dennoch alle zutreffen, wenn man ihr jeweiliges Bezugssystem berücksichtigt. Zum Beispiel könnte ein Autofahrer zu Recht behaupten, dass ihm ein Baum entgegenkommt, während ein am Straßenrand stehender Beobachter, ebenfalls zu Recht, den Vorgang umgekehrt sieht. In der Physik gilt, dass jedes so definierte Bezugssystem gleichberechtigt gewählt werden darf und dass es keinen grundlegenden Prozess gibt, durch den man ein bestimmtes Bezugssystem vor allen anderen auszeichnen könnte. 

 

Massenpunkte

Als Massenpunkt oder Bezugspunkt wird häufig ein einziger Punkt eines realen Körpers gewählt, z. B. „die linke, vordere Ecke des Tisches“, „die Mitte des Bahnsteigs“ oder „das Zentrum der Sonne“. Es kann sich aber auch um einen gedachten Punkt handeln, z. B. „der gemeinsame Schwerpunkt von Erde und Mond“ oder „ein frei fallendes Bezugssystem“. 

Wir betrachten als Beispiel ein Wettrennen von zwei Autos: Die Festlegung eines geeigneten Massenpunktes ist bei dem Wettrennen sehr wichtig. Dabei spielt es eine Rolle zu welchem Zeitpunkt der vorderste Punkt es jeweiligen Autos die Ziellinie überschreitet. Dieser Punkt ist deshalb eine sinnvolle Wahl für die Festlegung des Massenpunktes für das jeweilige Auto. Die Form des Körpers, seine Farbe oder auch seine Ausdehnung spielen bei der Betrachtung des Wettrennens keine Rolle.

 

Alle physikalischen Untersuchungen finden in dem Modell der Massenpunkte im gewählten Bezugssystem statt. Es handelt sich dabei um ein gedankliches Konstrukt. Einen Körper ohne reale Ausdehnung gibt es in unserer realen Welt natürlich nicht, trotzdem lässt sich beispielsweise seine Geschwindigkeit in dem Modell bestimmen. Die aus der Modellvorstellung abgeleiteten Ergebnisse lassen sich dann aber einfach wieder in die Realität übertragen, man erhält dadurch also Aussagen oder Vorhersagen zu dem realen physikalischen System

 

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Hinweis: Die Quellenangaben zu diesem Text sind am Ende dieser Internetseite zu finden.


Infotext - Die Bewegung von Körpern (2) - Die Geschwindigkeit


Die Geschwindigkeit einer der grundlegenden Begriffe der Mechanik. Die Geschwindigkeit beschreibt, wie schnell und in welcher Richtung ein Körper im Lauf der Zeit seinen Ort verändert. Eine Geschwindigkeit wird durch ihren Betrag und die Bewegungsrichtung angegeben. Als Formelzeichen wird ein v nach dem lateinischen bzw. englischen Wort für Geschwindigkeit verwendet (lateinisch velocitas, englisch velocity). Eine Geschwindigkeitsangabe ist immer relativ zu einem Bezugssystem zu verstehen (bei einem Auto ist das Bezugssystem dann die Straße).
Das Wort Geschwindigkeit geht auf mittelhochdeutsch geswinde zurück ('schnell, vorschnell, ungestüm, kühn') zurück. Oft wird mit diesem Wort nur ihr Betrag gemeint, der anschaulich gesprochen das momentane „Tempo“ der Bewegung wiedergibt, wie es beispielsweise im Auto vom Tachometer angezeigt wird. v gibt an, welche Wegstrecke ein Körper innerhalb einer bestimmten Zeitspanne zurücklegt, wenn die Geschwindigkeit entsprechend lange konstant bleibt. Die international verwendete Einheit ist Meter pro Sekunde (m/s), gebräuchlich sind auch Kilometer pro Stunde (km/h).
 
Durchschnittsgeschwindigkeit
Wenn man zur Berechnung der Geschwindigkeit die gesamte zurückgelegte Strecke durch die gesamte verstrichene Zeit teilt, so erhält man als Ergebnis die Durchschnittsgeschwindigkeit. Man bezeichnet das auch als die "mittlere Geschwindigkeit". Die Information über die zeitliche Veränderung geht dabei aber verloren. Wenn beispielsweise ein Auto eine Strecke von 100 km in einer Stunde zurücklegt, so hatte es eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h. Dabei kann es tatsächlich mit konstanter Geschwindigkeit 100 km/h gefahren sein oder eine Viertelstunde mit einer Geschwindigkeit von 200 km/h und eine Dreiviertelstunde mit einer Geschwindigkeit von 66,7 km/h. Oft ist nur die Durchschnittsgeschwindigkeit von Interesse. Bei Genaueren Betrachtungen spielt aber ggf. auch die Anfangsgeschwindigkeit, die Endgeschwindigkeit, die Momentangeschwindigkeit oder auch die Maximalgeschwindigkeit während einer bestimmten Zeitspanne eine Rolle und muss dann berücksichtigt werden.
 
Messung
Am einfachsten kann die Geschwindigkeit bestimmt werden, indem man misst,
  • welche Zeit für eine bestimmte Wegstrecke benötigt wird oder
  • welche Strecke in einem gegebenen Zeitintervall zurückgelegt wird.
In beiden Fällen wird eigentlich nur eine Durchschnittsgeschwindigkeit gemessen. Wenn das Weg- bzw. Zeitintervall aber kurz genug gewählt wird oder die Bewegung annähernd gleichförmig ist, kann man mit beiden Methoden befriedigende Genauigkeiten erreichen.
 
Hinweis:
In der Alltagssprache wird auch die Bezeichnung „Stundenkilometer“ verwendet. Da in der Physik eine derartige Zusammensetzung zweier Einheiten (hier: „Stunde“ und „Kilometer“) als eine Multiplikation dieser Einheiten verstanden wird, wird der Ausdruck „Stundenkilometer“ in den Naturwissenschaften normalerweise nicht verwendet.

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Hinweis: Die Quellenangaben zu diesem Text sind am Ende dieser Internetseite zu finden.


Physik - Mechanik: [7:08]

Die Geschwindigkeit

Der Begriff der Geschwindigkeit wird an Beispielen erklärt. Es werden Beispiele zur Berechnung der Geschwindigkeit, der Strecke und der Zeit ausführlich vorgeführt.

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Physik - Mechanik: [5:24]

Einheiten umrechnen

Diese Video zeigt die grundsätzliche Vorgehensweise zur Umrechnung von Einheiten am Beispiel der Geschwindigkeitseinheiten m/s und km/h. Weiterhin werden Beispiel gezeigt.

Infotext - Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung


Eine Beschleunigung ist in der Physik die Änderung des Bewegungszustands eines Körpers. Als physikalische Größe ist die Beschleunigung die momentane zeitliche Änderungsrate der Geschwindigkeit. Die Beschleunigung ist, neben dem Ort und der Geschwindigkeit, eine zentrale Größe in der Mechanik.
 
In der Umgangssprache bezeichnet Beschleunigung oft nur eine Steigerung des „Tempos“, also des Betrags der Geschwindigkeit. Im physikalischen Sinn ist aber jede Änderung einer Bewegung eine Beschleunigung, z. B. auch eine Abnahme des Geschwindigkeitsbetrages – wie ein Bremsvorgang – oder eine reine Richtungsänderung bei gleichbleibendem Geschwindigkeitsbetrag – wie bei einer Kurvenfahrt mit einem Auto. Darüber hinaus gibt es in Physik und Technischer Mechanik Begriffe wie Gravitationsbeschleunigung o. ä., mit denen diejenige Beschleunigung bezeichnet wird, die sich in der Bewegung des Körpers zeigen würde, wenn ausschließlich die im Begriff genannte Kraft einwirkte. Ob und wie der Körper tatsächlich beschleunigt wird, hängt aber von allen auf ihn wirkenden Kräften ab.
 
Die Einheit der Beschleunigung ist m/s2 (Meter pro Sekunde hoch 2). Bei einer Beschleunigung von 1 m/s2 verändert sich die Geschwindigkeit pro Sekunde um 1 m/s. 
 
Beschleunigungen kommen bei allen realen Bewegungsvorgängen, z. B. von Fahrzeugen, Flugzeugen oder Aufzügen, vor. Durch die mit ihnen auftretende Trägheitskraft wirken sie sich mehr oder weniger deutlich auf beförderte Menschen und Sachen aus.
 
Als Formelzeichen für die Beschleunigung wird ein a verwendet. Die Beschleunigung a ist die Geschwindigkeitsänderung pro Zeitintervall. Am einfachsten lässt sie sich bei konstanter Beschleunigung berechnen, es handelt sich dann um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Wenn die Geschwindigkeiten v1 zum Zeitpunkt t1 sowie v2 zum Zeitpunkt t2 bekannt sind, berechnet sich die Beschleunigung innerhalb der Zeitspanne ∆t=t2-t1 aus der Differenz der Geschwindigkeiten ∆v=v2-v1 gemäß:
 
Beispiele zur Berechnung 
  1. Ein Fahrzeug bewegt sich zum Zeitpunkt t1=0s mit einer Geschwindigkeit von v1=10 m/s über die Straße. Fünfzehn Sekunden später, zum Zeitpunkt t2=15s, beträgt die Geschwindigkeit v2=55 m/s. Die durchschnittliche Beschleunigung des Autos in diesem Zeitintervall war dann:

     
  2. Ein PKW, der vor der roten Ampel innerhalb von ∆t=3s von „Tempo 50“ (v1=50 km/h≈13,88 m/s) auf Null abgebremst wird, erfährt die Beschleunigung:

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Hinweis: Die Quellenangaben zu diesem Text sind am Ende dieser Internetseite zu finden.


Physik - Mechanik: [8:23]

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (1)

Im Video wird von grundlegenden Überlegungen auf der Basis der gleichförmigen Bewegung der Wert der Erdbeschleunigung (g=m/s²) abgeleitet. Dabei werden experimentell bestimmte Werten des freien Falls zugrunde gelegt.

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Physik - Mechanik: [9:58]

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (2)

Im Video wird aus den grundlegenden Überlegungen des ersten Teils das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz und das Weg-Zeit-Gesetz eingeführt und abgeleitet. Einfache Anwendungsbeispiel werden vorgerechnet.

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Infotext - Newton´sches Kraftgesetz


Das Newton´sche Kraftgesetz ist die Grundlage für eine genaue Beschreibung der Bewegung von Körpern. Seine Aussage lässt sich folgendermaßen in Worte fassen:


„Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.“


Mit der „Änderung der Bewegung“ ist dabei die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeitintervall gemeint. Formal wird dieser Zusammenhang zwischen Kraft und Bewegungsänderung ausgedrückt als:

Das Zeichen zwischen der linken und der rechten Seite in diesem Zusammenhang bedeutet „proportional“, also „in festem Verhältnis stehend“. Die Aussage dahinter lautet: Die Änderung der Geschwindigkeit ∆v pro Zeitintervall ∆t ist proportional zur einwirkenden Kraft F. Der Ausdruck auf der rechten Seite ist uns aber bereits als „Beschleunigung“ bekannt, es gilt bekanntlich:

Entsprechend können wir diese Gleichung oben einsetzen, daraus folgt: 

Das bedeutet, dass die einwirkende Kraft proportional zur Beschleunigung (also zur zeitlichen Änderung der Geschwindigkeit) eines Körpers ist.
Im Originalwerk von Newton wurde, in modernen Begriffen ausgedrückt, bereits eine allgemein gültige Formulierung verwendet, welche die Proportionalität von Kraft und Beschleunigung mit der Masse m des betrachteten Körpers verbindet.


Es gilt: F = m ∙ a


In Worten ausgedrückt bedeutet das, dass die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit eines Körpers der äußeren Kraft entspricht, die auf diesen Körper wirkt. Die Kraft kann folglich als Ursache für die Beschleunigung des Körpers gesehen werden. (Dabei wird zudem auch die Möglichkeit einer Bewegungen von Körpern mit veränderlicher Masse - beispielsweise Raketen – berücksichtigt). 
Der Betrag der Geschwindigkeit ändert sich dabei unter der Voraussetzung, dass die betrachteten Kräfte und die Bewegung des Körpers in die gleiche Richtung wirken. (Die Bewegungsrichtung des Körpers wird dagegen durch Kräfte geändert die senkrecht zur aktuellen Bewegungsrichtung stehen.) Die Gleichung F = m ∙ a heißt Grundgleichung der Mechanik.


Isaac Newton

Sir Isaac Newton (1642 – 1726) war ein englischer Physiker, Astronom und Mathematiker an der Universität Cambridge und Leiter der Royal Mint (Münzprägeanstalt des Vereinigten Königreichs). 
Aufgrund seiner Leistungen, vor allem auf den Gebieten der Physik und Mathematik, gilt Sir Isaac Newton als einer der bedeutendsten Wissenschaftler aller Zeiten. Die von ihm verfasste „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“ wird als eines der wichtigsten wissenschaftlichen Werke eingestuft.

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Hinweis: Die Quellenangaben zu diesem Text sind am Ende dieser Internetseite zu finden.


Infotext - Impuls und Kraftstoß


Impuls

 

Der Impulsbegriff entwickelte sich aus der Suche nach dem Maß für die in einem physikalischen Objekt vorhandene „Menge an Bewegung“. Daraus erklären sich die heute veralteten Bezeichnungen „Bewegungsgröße“ oder „Bewegungsmenge“ für den Impuls. Mit diesen Bezeichnungen konnte ursprünglich auch die Bewegungsenergie gemeint sein, das ist aber nicht das Gleiche! Erst Anfang des 19. Jahrhunderts wurden die Begriffe sauber unterschieden. 

 

Der Impuls ist eine grundlegende physikalische Größe, die den mechanischen Bewegungszustand eines physikalischen Objekts charakterisiert. Der Impuls eines physikalischen Objekts ist umso größer, je schneller es sich bewegt und je massereicher es ist. Damit steht der Impuls für das, was in der Umgangssprache unscharf mit „Schwung“ und „Wucht“ bezeichnet wird. Das Formelzeichen des Impulses ist p (von lateinisch pellere ‚stoßen, treiben‘). 

 

Die Einheit für den Impuls ist: (kg·m)/s  [oder N·s]

 

Der Impuls hat einen Betrag und eine Richtung. Seine Richtung ist die Bewegungsrichtung des Objekts. Sein Betrag ist durch das Produkt aus der Masse des Körpers und der Geschwindigkeit seines Massenmittelpunkts gegeben.
Der Impuls eines Körpers charakterisiert ausschließlich die geradlinige Bewegung seines Massenmittelpunkts. Eine eventuell zusätzlich vorhandene Rotation um den Massenmittelpunkt wird dadurch nicht erfasst. Der Impuls ist eine additive Größe. Der Gesamtimpuls eines Objekts mit mehreren Bestandteilen ist die Summe der Impulse seiner Teile.

 

In der Formelsprache ausgedrückt lautet Definition für den Impuls:

p = m ∙ v

 

Der Impuls hängt, wie die Geschwindigkeit, von der Wahl des Bezugssystems ab. In einem geeigneten Bezugssystem ist der Impuls eine Erhaltungsgröße, das heißt: Ein Objekt, auf das von außen keine Kräfte wirken, behält seinen Gesamtimpuls nach Betrag und Richtung bei. Üben zwei Objekte Kraft aufeinander aus, z. B. bei einem Stoßvorgang, ändern sich ihre beiden Impulse in entgegengesetzter Weise so, dass ihre Summe (unter Beachtung der jeweiligen Richtung) erhalten bleibt. Die Größe, um die sich der Impuls für eines der Objekte ändert, wird als Impulsübertrag bezeichnet. 

 

Kraftstoß

 

Um die Geschwindigkeit eines Körpers (nach Richtung und/oder Betrag) zu ändern, muss sein Impuls geändert werden. Die Impulsänderung p berechnet sich aus der dafür benötigten Zeit t und der notwendigen Kraft F: p = F ∙ t
Diese Impulsänderung wird als Kraftstoß bezeichnet. Dabei spielen sowohl der Betrag als auch die Richtung der Kraft eine Rolle.

 

Die Einheit für den Kraftstoß ist: N·s

 

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Hinweis: Die Quellenangaben zu diesem Text sind am Ende dieser Internetseite zu finden.


Aufgaben

  1. Aus einer Pistole wir eine Kugel abgeschossen. Sie hat einen Impuls von p = 4,6 (kg⋅m)/s und eine Masse von 11g. Mit welcher Geschwindigkeit fliegt die Kugel?

  2. Für den Vorgang im Beispiel auf der Folie "Impuls (2)" gilt für den Gesamtimpuls der beiden Wägen: pges = p+ p= 0.
    Weiterhin gilt für den Impuls p = m⋅v . Das führt zur Gleichung: m1⋅v1 +  m2⋅v2 = 0
    Stelle diese Gleichung nach allen darin vorkommenden Variablen um (m1 ; m2 ; v1 ; v2)

  3. Betrachte den Versuch "B" von Folie (2) zum Inpuls: Der erste Wagen hat jetzt aber eine Masse von 400 g und nach den Durchtrennen der Schnur eine Geschwindigkeit von 2,3 m/s. Der zweite Wagen fährt mit der Geschwindigkeit von 5,2 m/s in die entgegengesetzte Richtung.
    a) Welche Masse hat der zweite Wagen?
    b) Berechne die Impulse der beiden Wagen nachdem die Schnur durchgeschnitten wurde. 
    c) Die wirkende Federkraft auf die beiden Wagen beträgt bei dem Vorgang F = 5,75 N  [Es gilt: 1N = 1(kg⋅m)/s2]. Berechne die Zeit in der die Federkraft auf den linken Wagen wirkt.

  4. Eine Gewehrkugel (m = 8g) verlässt das Gewehr mit einer Geschwindigkeit von 350 m/s. Die Masse des Gewehrs beträgt 7 kg. 
    a) Berechne den Impuls der Kugel nachdem sie abgefeuert wurde.
    b) Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich dabei das Gewehr in die entgegengesetzte Richtung?

  5. Ein Eisenbahnwaggon (Waggon A) trifft mit der Geschwindigkeit von 2 m/s auf zwei miteinander gekoppelte Waggons (Waggon B und C, zunächst stillstehend). Die Masse der drei Waggons beträgt jeweils 45 t. Dabei koppelt Waggon A an die beiden anderen miteinander verbundenen Waggons B und C an und bleibt mit ihnen verbunden. Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich die drei miteinander gekoppelten Waggons nach diesem inelastischen Stoß?

  6. Wir betrachten jetzt die Situation von Aufgabe 4 nochmal. Der aufprallende Waggon A hat hier aber eine Geschwindigkeit von 3 m/s. Jetzt koppelt der aufprallende Waggon A aber nicht an die beiden anderen (miteinander verbundenen) Waggons B und C an. Die beiden miteinander gekoppelten Waggons haben nach diesem elastischen Stoß eine Geschwindigkeit von 2 m/s.
    a) Beschreibe die Bewegung aller drei Waggons.
    b) Berechne die Geschwindigkeit von Waggon A nach dem Stoß.


Video als Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte zur Mechanik:

  Einführung in die Physik: Newtonsche Mechanik (Physikus Lernteil)



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Quellenangaben zu den Inhalten auf dieser Seite


Infotext ([27] Mechanik - Bezugssysteme, Massenpunkte)

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Infotext ([28] Mechanik - Die Geschwindigkeit)

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Infotext ([29] Mechanik - Die beschleunigte Bewegung)

Creative Commons Lizenzvertrag Dieser Text basiert auf dem Artikel Beschleunigung aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Der Text wurde von Andreas Rueff überarbeitet und auf der Grundlage didaktischer Überlegungen angepasst und gekürzt. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.


Infotext ([31] Mechanik - Newton´sches Kraftgesetz)

Creative Commons Lizenzvertrag Dieser Text basiert auf den Artikeln Newtonsche Gesetze und Isaac Newton aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Der Text wurde von Andreas Rueff überarbeitet und auf der Grundlage didaktischer Überlegungen angepasst und gekürzt. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.


Infotext ([32] Mechanik - Impuls und Kraftstoß)

Creative Commons Lizenzvertrag Dieser Text basiert auf dem Artikel Impuls aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Der Text wurde von Andreas Rueff überarbeitet und auf der Grundlage didaktischer Überlegungen angepasst und gekürzt. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.