Mathematik - Grundlagen für die Mittelstufe
Fundierte mathematische Kenntnisse sind für Schüler aller Schulformen von zentraler Bedeutung. Die Ausbildung zu fördern und die erworbenen Kenntnisse für den Gebrauch in der Schule und im
Alltag griffbereit zu erhalten ist das Ziel dieses Nachschlagebuches. Die Zusammenstellung orientiert sich an der Vereinbarung von Bildungsstandards durch die Kultusministerkonferenz der
Länder. Es ist aus zahlreichen Unterrichtsvorbereitungen der vergangenen Jahre hervorgegangen und soll die wichtigsten mathematischen Themenbereiche der Mittelstufe zusammenfassen, aber auch
nicht darüber hinausgehen. Das Bedürfnis der Schüler, behandelten Stoff nachschlagen zu können, insbesondere bei der Vorbereitung von Prüfungen, war der Anstoß für diese Zusammenstellung.
Viele vergleichbare Bücher oder Formelsammlungen sind jedoch leider so überladen mit Informationen, die den Stoff der Mittelstufe weit überschreiten, dass darunter die Übersichtlichkeit
leidet. Viele Schüler werden durch die zu weit gefassten Rahmenbedingungen dieser Bücher immer wieder vor Probleme gestellt. Die vorliegende Zusammenstellung soll deshalb nur den notwendigen
Stoff in einer strukturierten Form erfassen und dadurch das Arbeiten erleichtern. Die Inhalte werden dabei im Gesamtzusammenhang klassenstufenübergreifend präsentiert. Die gegliederte
Bearbeitung der Themen in den jeweiligen Jahrgängen führt sukzessive zur Vollständigkeit der dargestellten Kapitel.
Den Gesamtzusammenhang nicht aus den Augen zu verlieren und dadurch das Verständnis der Thematik, durch Verknüpfungen mit bereits bekanntem Stoff, zu optimieren, ist in den Lehrbüchern
einzelner Klassenstufen nicht möglich. Das vorliegende Buch soll eine begleitende Funktion für den Zeitraum der fünften bis zur zehnten Klasse erfüllen. Es soll die Bücher der einzelnen
Jahrgangsstufen nicht ersetzen, sondern ergänzen. Indem es wichtige Formeln und Regeln zusammenfasst, soll es Hilfestellung leisten und als Bindeglied zum Mathematikunterricht dienen. Darin
lag die Intention beim Erstellen des vorliegenden Textes. Die behandelten Inhalte werden anhand von zahlreichen Beispielen präsentiert. Dabei wurde auf eine klare, übersichtliche Gliederung
der einzelnen Themenbereiche Wert gelegt.
Jedes Lehrbuch lebt von der kritischen Mitarbeit der Leser. Insbesondere in der mathematischen Literatur lässt es sich auch bei sorgfältigster Bearbeitung kaum vermeiden, dass sich Druckfehler einschleichen. Der Verfasser freut sich deshalb über Verbesserungsvorschläge oder Hinweise auf mögliche Fehler. Hier bin ich Herrn Christian Köhler für die freundliche Unterstützung bei der Durchsicht der ersten Auflage zu großem Dank verpflichtet.
Als nützliches Nachschlagebuch zu gelten ist das Ziel. Recht vielen Benutzern ein wertvoller Helfer zu sein ist zu hoffen und zu wünschen. Sollte dies gelingen, wäre viel erreicht.
Hier auf der Internetseite ist das gesamte Buch in unveränderter Form online verfügbar. Die Intension dabei ist, dass die Schülerinnen und Schüler auch online auf die Inhalte Zugriff haben sollen. Dies soll unabhängig von der jeweiligen Jahrgangsstufe, jederzeit und kostenlos gewährleistet sein. Weiterhin ist keinerlei Registrierung auf dieser Internetseite notwendig. Onlinetools und Lernvideos zu allen Themenbereichen ergänzen die Inhalte des Buches und sind den jeweiligen Kapiteln zugeordnet.
A. Rueff
( → Printversion: siehe Publikationen)
Grundrechenarten - Addition (a): [4:55]
Gezeigt wird die Addition von natürlichen Zahlen an Beispielen.
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Grundrechenarten - Multiplikation (a): [3:34]
Gezeigt wird die Multiplikation von Zahlen am Beispiel 324*8. (Mehrstellige Zahl mal einstelligen Zahl).
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Grundrechenarten - Division (a): [6:19]
Gezeigt wird die Division von Zahlen am Beispiel 4675:8. Dabei wird die Rechnung mit einem Rest beendet. (natürliche Zahlen)
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Grundrechenarten - Division (b): [4:28]
Gezeigt wird die Division von Zahlen am Beispiel 4675:8. Dabei wird die Rechnung aus dem ersten Video fortgesetzt und das exakte Ergebnis berechnet - mit Nachkommastellen. (rationale Zahlen)
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Grundlagen - Rechengesetze: [4:44]
Multiplikation - Rechengesetze & Anwendungen
Grundrechenarten - Rechenvorteile bei der Multiplikation mit Stufenzahlen. Es werden Anwendungsbeispiele für Rechnungen mit Stufenzahlen gezeigt.
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Bruchrechnung: [11:53]
Teil 1: Brüche darstellen, erweitern und kürzen
Die Darstellung und Schreibweise von Brüchen wird erklärt. Beispiele zeigen anschauliche Anwendungen. Weiterhin werden Umformungen vorgeführt: Brüche werden erweitert und gekürzt - mit Beispielen.
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Bruchrechnung: [7:18]
Teil 3: Brüche multiplizieren
Bruchrechnung (Teil 3) - Die Multiplikation von Brüchen wird an Beispielen anschaulich erklärt.
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Bruchrechnung: [5:37]
Teil 6: Dezimalbrüche und Dezimalzahlen
Beschrieben und anschaulich vorgeführt werden die Eigenschaften von Dezimalbrüchen und die Umwandlung in Dezimalzahlen.
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siehe auch: Video → Zehnersystem / Stellenwerttafel
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Potenzen (1): 1. und 2. Potenzsatz [7:56]
Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen
Daraus leiten sich der ersten und der zweite Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (2): 3. und 4. Potenzsatz [7:30]
Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten
Daraus leiten sich der dritte und der vierte Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (3): Addition und Subtraktion [6:57]
Addition und Subtraktion von Potenzen
Vereinfachungen ergeben sich hier nur bei gleicher Basis und gleichem Exponent. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (4): 5. Potenzsatz [5:41]
Potenzieren von Potenzen
Daraus leitet sich der fünfte Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (5): Ganzzahlige Exponenten [8:14]
Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten
Hierbei werden logische Folgerungen aus dem zweiten Potenzsatz vorgeführt und die Bedeutung von negativen Exponenten erklärt. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (6): Rationale Exponenten [8:19]
Im sechsten Teil der Videoreiche wird die Erweiterung auf rationale Exponenten gezeigt. Hierbei werden logische Folgerungen aus
dem fünften Potenzsatz vorgeführt und die Bedeutung von Buchzahlen im Exponenten erklärt. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (1): 1. und 2. Potenzsatz [7:56]
Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen
Daraus leiten sich der ersten und der zweite Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (2): 3. und 4. Potenzsatz [7:30]
Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten
Daraus leiten sich der dritte und der vierte Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (3): Addition und Subtraktion [6:57]
Addition und Subtraktion von Potenzen
Vereinfachungen ergeben sich hier nur bei gleicher Basis und gleichem Exponent. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (4): 5. Potenzsatz [5:41]
Potenzieren von Potenzen
Daraus leitet sich der fünfte Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (5): Ganzzahlige Exponenten [8:14]
Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten
Hierbei werden logische Folgerungen aus dem zweiten Potenzsatz vorgeführt und die Bedeutung von negativen Exponenten erklärt. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (6): Rationale Exponenten [8:19]
Im sechsten Teil der Videoreiche wird die Erweiterung auf rationale Exponenten gezeigt. Hierbei werden logische Folgerungen aus
dem fünften Potenzsatz vorgeführt und die Bedeutung von Buchzahlen im Exponenten erklärt. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (1): 1. und 2. Potenzsatz [7:56]
Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen
Daraus leiten sich der ersten und der zweite Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (2): 3. und 4. Potenzsatz [7:30]
Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten
Daraus leiten sich der dritte und der vierte Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (3): Addition und Subtraktion [6:57]
Addition und Subtraktion von Potenzen
Vereinfachungen ergeben sich hier nur bei gleicher Basis und gleichem Exponent. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (4): 5. Potenzsatz [5:41]
Potenzieren von Potenzen
Daraus leitet sich der fünfte Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (5): Ganzzahlige Exponenten [8:14]
Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten
Hierbei werden logische Folgerungen aus dem zweiten Potenzsatz vorgeführt und die Bedeutung von negativen Exponenten erklärt. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (6): Rationale Exponenten [8:19]
Im sechsten Teil der Videoreiche wird die Erweiterung auf rationale Exponenten gezeigt. Hierbei werden logische Folgerungen aus
dem fünften Potenzsatz vorgeführt und die Bedeutung von Buchzahlen im Exponenten erklärt. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (1): 1. und 2. Potenzsatz [7:56]
Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen
Daraus leiten sich der ersten und der zweite Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (2): 3. und 4. Potenzsatz [7:30]
Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten
Daraus leiten sich der dritte und der vierte Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (3): Addition und Subtraktion [6:57]
Addition und Subtraktion von Potenzen
Vereinfachungen ergeben sich hier nur bei gleicher Basis und gleichem Exponent. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (4): 5. Potenzsatz [5:41]
Potenzieren von Potenzen
Daraus leitet sich der fünfte Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (5): Ganzzahlige Exponenten [8:14]
Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten
Hierbei werden logische Folgerungen aus dem zweiten Potenzsatz vorgeführt und die Bedeutung von negativen Exponenten erklärt. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (6): Rationale Exponenten [8:19]
Im sechsten Teil der Videoreiche wird die Erweiterung auf rationale Exponenten gezeigt. Hierbei werden logische Folgerungen aus
dem fünften Potenzsatz vorgeführt und die Bedeutung von Buchzahlen im Exponenten erklärt. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (1): 1. und 2. Potenzsatz [7:56]
Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen
Daraus leiten sich der ersten und der zweite Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (2): 3. und 4. Potenzsatz [7:30]
Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten
Daraus leiten sich der dritte und der vierte Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (3): Addition und Subtraktion [6:57]
Addition und Subtraktion von Potenzen
Vereinfachungen ergeben sich hier nur bei gleicher Basis und gleichem Exponent. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (4): 5. Potenzsatz [5:41]
Potenzieren von Potenzen
Daraus leitet sich der fünfte Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (5): Ganzzahlige Exponenten [8:14]
Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten
Hierbei werden logische Folgerungen aus dem zweiten Potenzsatz vorgeführt und die Bedeutung von negativen Exponenten erklärt. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (6): Rationale Exponenten [8:19]
Im sechsten Teil der Videoreiche wird die Erweiterung auf rationale Exponenten gezeigt. Hierbei werden logische Folgerungen aus
dem fünften Potenzsatz vorgeführt und die Bedeutung von Buchzahlen im Exponenten erklärt. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (1): 1. und 2. Potenzsatz [7:56]
Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen
Daraus leiten sich der ersten und der zweite Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (2): 3. und 4. Potenzsatz [7:30]
Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten
Daraus leiten sich der dritte und der vierte Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (3): Addition und Subtraktion [6:57]
Addition und Subtraktion von Potenzen
Vereinfachungen ergeben sich hier nur bei gleicher Basis und gleichem Exponent. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (4): 5. Potenzsatz [5:41]
Potenzieren von Potenzen
Daraus leitet sich der fünfte Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (5): Ganzzahlige Exponenten [8:14]
Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten
Hierbei werden logische Folgerungen aus dem zweiten Potenzsatz vorgeführt und die Bedeutung von negativen Exponenten erklärt. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (6): Rationale Exponenten [8:19]
Im sechsten Teil der Videoreiche wird die Erweiterung auf rationale Exponenten gezeigt. Hierbei werden logische Folgerungen aus
dem fünften Potenzsatz vorgeführt und die Bedeutung von Buchzahlen im Exponenten erklärt. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (1): 1. und 2. Potenzsatz [7:56]
Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen
Daraus leiten sich der ersten und der zweite Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (2): 3. und 4. Potenzsatz [7:30]
Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten
Daraus leiten sich der dritte und der vierte Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (3): Addition und Subtraktion [6:57]
Addition und Subtraktion von Potenzen
Vereinfachungen ergeben sich hier nur bei gleicher Basis und gleichem Exponent. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (4): 5. Potenzsatz [5:41]
Potenzieren von Potenzen
Daraus leitet sich der fünfte Potenzsatz ab. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (5): Ganzzahlige Exponenten [8:14]
Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten
Hierbei werden logische Folgerungen aus dem zweiten Potenzsatz vorgeführt und die Bedeutung von negativen Exponenten erklärt. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Potenzen (6): Rationale Exponenten [8:19]
Im sechsten Teil der Videoreiche wird die Erweiterung auf rationale Exponenten gezeigt. Hierbei werden logische Folgerungen aus
dem fünften Potenzsatz vorgeführt und die Bedeutung von Buchzahlen im Exponenten erklärt. Es werden anschließend Beispiele gezeigt.
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Wurzeln (Radizieren) / Intervallschachtelung [8:22]
Es werden zunächst grundlegende Zusammenhänge und Begriffe zum Thema Wurzeln erklärt. Anschließend wird an einem Beispiel das
Verfahren der Intervallschachtelung vorgeführt.
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Wurzeln (Radizieren) / Intervallschachtelung [8:22]
Es werden zunächst grundlegende Zusammenhänge und Begriffe zum Thema Wurzeln erklärt. Anschließend wird an einem Beispiel das
Verfahren der Intervallschachtelung vorgeführt.
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Gleichungen: Binomische Formeln (2) [3:48]
Teil 2 - Zweite binomische Formel
Anschaulich hergeleitet werden die binomischen Gleichungen durch geometrische Überlegungen.
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Gleichungen: Quadratische Gleichungen (1) [5:10]
Lösung quadratischer Gleichungen vom Typ x2+c=0
An Beispielen wird das zeichnerische und rechnerische Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen des Typs x2+c=0 gezeigt.
Vorausgesetzte Grundlagen für die Videos zu quadratischen Gleichungen sind: Lineare Funktionen und quadratische Funktionen, Weiterhin werden Kenntnisse zu binomischen Formeln für die Rechnungen benötigt.
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Gleichungen: Quadratische Gleichungen (1) [5:10]
Lösung quadratischer Gleichungen vom Typ x2+c=0
An Beispielen wird das zeichnerische und rechnerische Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen des Typs x2+c=0 gezeigt.
Vorausgesetzte Grundlagen für die Videos zu quadratischen Gleichungen sind: Lineare Funktionen und quadratische Funktionen, Weiterhin werden Kenntnisse zu binomischen Formeln für die Rechnungen benötigt.
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Gleichungen: Quadratische Gleichungen (1) [5:10]
Lösung quadratischer Gleichungen vom Typ x2+c=0
An Beispielen wird das zeichnerische und rechnerische Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen des Typs x2+c=0 gezeigt.
Vorausgesetzte Grundlagen für die Videos zu quadratischen Gleichungen sind: Lineare Funktionen und quadratische Funktionen, Weiterhin werden Kenntnisse zu binomischen Formeln für die Rechnungen benötigt.
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Gleichungen: Quadratische Gleichungen (1) [5:10]
Lösung quadratischer Gleichungen vom Typ x2+c=0
An Beispielen wird das zeichnerische und rechnerische Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen des Typs x2+c=0 gezeigt.
Vorausgesetzte Grundlagen für die Videos zu quadratischen Gleichungen sind: Lineare Funktionen und quadratische Funktionen, Weiterhin werden Kenntnisse zu binomischen Formeln für die Rechnungen benötigt.
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Gleichungen: Quadratische Gleichungen (1) [5:10]
Lösung quadratischer Gleichungen vom Typ x2+c=0
An Beispielen wird das zeichnerische und rechnerische Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen des Typs x2+c=0 gezeigt.
Vorausgesetzte Grundlagen für die Videos zu quadratischen Gleichungen sind: Lineare Funktionen und quadratische Funktionen, Weiterhin werden Kenntnisse zu binomischen Formeln für die Rechnungen benötigt.
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Gleichungen: Quadratische Gleichungen (2) [5:50]
Lösung quadratischer Gleichungen vom Typ x2+bx=0
An Beispielen wird das zeichnerische und rechnerische Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen des Typs x2+bx=0 gezeigt.
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Gleichungen: Quadratische Gleichungen (2) [5:50]
Lösung quadratischer Gleichungen vom Typ x2+bx=0
An Beispielen wird das zeichnerische und rechnerische Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen des Typs x2+bx=0 gezeigt.
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Gleichungen: Quadratische Gleichungen (3) [7:34]
Lösung quadratischer Gleichungen vom Typ ax2+bx+c=0
An Beispielen wird das zeichnerische Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen des Typs ax2+bx+c=0 gezeigt. Weiterhin werden die a-b-c-Formel und die p-q-Formel als rechnerische Lösungsmethode vorgestellt.
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Gleichungen: Quadratische Gleichungen (3) [7:34]
Lösung quadratischer Gleichungen vom Typ ax2+bx+c=0
An Beispielen wird das zeichnerische Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen des Typs ax2+bx+c=0 gezeigt. Weiterhin werden die a-b-c-Formel und die p-q-Formel als rechnerische Lösungsmethode vorgestellt.
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Gleichungen: Quadratische Gleichungen (3) [7:34]
Lösung quadratischer Gleichungen vom Typ ax2+bx+c=0
An Beispielen wird das zeichnerische Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen des Typs ax2+bx+c=0 gezeigt. Weiterhin werden die a-b-c-Formel und die p-q-Formel als rechnerische Lösungsmethode vorgestellt.
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Gleichungen: Quadratische Gleichungen (3) [7:34]
Lösung quadratischer Gleichungen vom Typ ax2+bx+c=0
An Beispielen wird das zeichnerische Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen des Typs ax2+bx+c=0 gezeigt. Weiterhin werden die a-b-c-Formel und die p-q-Formel als rechnerische Lösungsmethode vorgestellt.
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Gleichungen: Quadratische Gleichungen (3) [7:34]
Lösung quadratischer Gleichungen vom Typ ax2+bx+c=0
An Beispielen wird das zeichnerische Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen des Typs ax2+bx+c=0 gezeigt. Weiterhin werden die a-b-c-Formel und die p-q-Formel als rechnerische Lösungsmethode vorgestellt.
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Gleichungen: Quadratische Gleichungen (4) [5:38]
Herleitung der p-q-Formel für Gleichungen des Typs x2+px+q=0
Die p-q-Formel wird durch die quadratische Ergänzung schrittweise hergeleitet und anschließend ein Beispiel gerechnet.
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Gleichungen: Quadratische Gleichungen (4) [5:38]
Herleitung der p-q-Formel für Gleichungen des Typs x2+px+q=0
Die p-q-Formel wird durch die quadratische Ergänzung schrittweise hergeleitet und anschließend ein Beispiel gerechnet.
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Gleichungen: Quadratische Gleichungen (4) [5:38]
Herleitung der p-q-Formel für Gleichungen des Typs x2+px+q=0
Die p-q-Formel wird durch die quadratische Ergänzung schrittweise hergeleitet und anschließend ein Beispiel gerechnet.
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(A5: ISBN 978-3-8423-1336-1 ; A6: ISBN 978-3-7450-6396-7 → Publikationen)